Calcularea valorii prezente și viitoare a anualităților

La un moment dat în viață, este posibil să fi trebuit să efectuați o serie de plăți fixe într-o perioadă de timp - cum ar fi chirii sau plăți cu mașina - sau să fi primit o serie de plăți pe o perioadă de timp, cum ar fi dobânda de la obligațiuni sau CD-uri. Acestea se numesc anuități (o utilizare mai generică a cuvântului - nu trebuie confundate cu produsul financiar specific numit anuitate, deși cele două sunt legate). Dacă înțelegeți valoarea în timp a banilor, sunteți gata să aflați despre anuități și cum sunt calculate valorile lor prezente și viitoare.

Ce sunt Annuities?

Anuabilitățile reprezintă, în esență, o serie de plăți fixe solicitate de la dvs. sau plătite către dvs., cu o frecvență specificată pe parcursul unei perioade de timp fixe. Frecvențele de plată pot fi anuale, semestriale (de două ori pe an), trimestriale și lunare. Există două tipuri de anuități de bază: renta obișnuită și renta datorată.

• Anualitate ordinară: plățile sunt necesare la sfârșitul fiecărei perioade. De exemplu, obligațiunile directe efectuează de obicei plăți cupon la sfârșitul fiecărei șase luni până la data scadenței obligațiunii.
• Anuitate datorată: plățile sunt necesare la începutul fiecărei perioade. Chiria este un exemplu de renta datorata. De obicei, vi se cere să plătiți chiria atunci când vă mutați mai întâi la începutul lunii și apoi la prima a fiecărei luni după aceea.

Deoarece calculele valorilor prezente și viitoare pentru anuități obișnuite și anuități datorate sunt ușor diferite, le vom discuta separat.

Anuități obișnuite

Calcularea valorii viitoare

Dacă știți cât puteți investi pe perioadă pentru o anumită perioadă de timp, valoarea viitoare (FV) a unei formule anuale obișnuite este utilă pentru a afla cât de mult ați avea în viitor. Dacă efectuați plăți pentru un împrumut, valoarea viitoare este utilă pentru a determina costul total al împrumutului. Dacă știți cât de mult intenționați să investiți în fiecare an și rata fixă ​​de returnare a garanțiilor de rentabilitate - sau, pentru împrumuturi, suma plăților și rata dobânzii dată - puteți determina cu ușurință valoarea contului dvs. în orice moment din viitorul.

Haideți să parcurgem acum exemplul 1. Luați în considerare următorul program de fluxuri de numerar pentru anualitate:

Pentru a calcula valoarea viitoare a renta, trebuie să calculăm valoarea viitoare a fiecărui flux de numerar. Să presupunem că primiți 1.000 de dolari în fiecare an pentru următorii cinci ani și investiți fiecare plată la o dobândă de 5%. Următoarea diagramă arată cât de mult ați avea la sfârșitul perioadei de cinci ani:

Deoarece trebuie să adăugăm valoarea viitoare a fiecărei plăți, este posibil să fi observat că dacă aveți o rentă obișnuită cu multe fluxuri de numerar, ar fi nevoie de mult timp pentru a calcula toate valorile viitoare și apoi pentru a le adăuga împreună. Din fericire, matematica oferă o formulă care servește ca o scurtătură pentru a găsi valoarea acumulată a tuturor fluxurilor de numerar primite dintr-o rentă obișnuită:

FVOrdinary Annuity = C × [(1 + i) n − 1i] unde: C = Fluxul de numerar pe periodi = Dobânda raten = Numărul de plăți \ begin {aliniat} & \ text {FV} _ {\ text {Ordinary ~ Annuity }} = \ text {C} \ times \ Big [\ dfrac {(1 + i) ^ n-1} {i} \ Big] \\ & \ textbf {unde:} \\ & \ text {C} = \ text {Flux de numerar pe perioadă} \\ & i = \ text {Rata dobânzii} \\ & n = \ text {Numărul de plăți} \\ \ end {aliniat} FVOrdinary Annuity = C × [i (1 + i) n − 1] unde: C = Flux de numerar per periodi = Dobândă raten = Număr de plăți

Folosind formula de mai sus pentru exemplul 1 de mai sus, acesta este rezultatul:

FVOrdinary Annuity = $ 1000 × [(1 + 0.05) 5−10.05] = 1000 $ × [5.53] \ begin {align} \ text {FV} _ {\ text {Ordinary ~ Annuity}} & = \ $ 1000 \ times \ left [\ frac {(1 + 0.05) ^ 5-1} {0.05} \ right] \\ & = \ $ 1000 \ times [5.53] \\ & = \ 5525, 63 $ \ end {align} FVOrdinary Annuity = 1000 $ × [ 0, 05 (1 + 0, 05) 5-1] = $ 1000 × [5, 53]

Calcularea valorii actuale

Rețineți că diferența de un centime între 5.525, 64 USD și 5.525, 63 USD se datorează unei erori de rotunjire în primul calcul. Fiecare valoare a primului calcul trebuie să fie rotunjită la cel mai apropiat ban - cu cât trebuie să rotunjiți numerele într-un calcul, cu atât vor apărea erori de rotunjire. Deci, formula de mai sus nu numai că oferă o scurtătură pentru a găsi FV-ul unei rente obișnuite, dar oferă și un rezultat mai precis.

Valoarea actuală a unei rente este pur și simplu valoarea curentă a tuturor veniturilor generate de acea investiție în viitor. Acest calcul este bazat pe conceptul valorii în timp a banilor, care afirmă că acum un dolar valorează mai mult decât un dolar câștigat în viitor. Din această cauză, calculele valorii actuale folosesc numărul de perioade de timp în care se generează venituri pentru a reduce valoarea plăților viitoare.

Dacă doriți să determinați valoarea de astăzi a unei serii de plăți viitoare, trebuie să utilizați formula care calculează valoarea actuală (PV) a unei rente obișnuite. Aceasta este formula pe care o utilizați ca parte a unui calcul al prețurilor obligațiunilor. PV-ul unei rente obișnuite calculează valoarea actuală a plăților cuponului pe care le veți primi în viitor.

Pentru Exemplul 2, vom folosi același program de fluxuri de numerar al anuității ca și în exemplul 1. Pentru a obține valoarea actualizată totală, trebuie să luăm valoarea actuală a fiecărei plăți viitoare și, așa cum am făcut în Exemplul 1, să adăugăm fluxurile de numerar împreună.

Din nou, calcularea și adăugarea tuturor acestor valori va dura mult timp, mai ales dacă ne așteptăm la multe plăți viitoare. Deși numeroase calculatoare online pot determina valoarea actuală a unei rente, formula pentru o rentă obișnuită nu este prea complicată de calculat manual, dacă folosim o scurtătură matematică pentru PV a unei rente obișnuite.

PVOrdinary Annuity = C × [1− (1 + i) ni] \ text {PV} _ {\ text {Ordinary ~ Annuity}} = \ text {C} \ times \ Big [\ dfrac {1- (1 + i) ^ {- n}} {i} \ Big] PVOrdinary Annuity = C × [i1− (1 + i) nn]

Formula ne oferă PV-ul în câțiva pași simpli. Iată calculul anualității reprezentate în diagrama pentru exemplul 2:

PVOrdinary Annuity = 1000 $ × [1− (1 + 0, 05) −50, 05] = 1000 $ × [4, 33] \ begin {aliniat} \ text {PV} _ {\ text {Ordinary ~ Annuity}} & = \ $ 1000 \ times \ Mare [\ dfrac {1- (1 + 0.05) ^ {- 5}} {0.05} \ Mare] \\ & = \ $ 1000 \ times [4.33] \\ & = \ $ 4329.48 \ end {align} PVOrdinary Annuity = $ 1000 × [0.051- (1 + 0, 05) -5] = $ 1000 × [4.33]

Calcularea valorii viitoare

Când primiți sau plătiți fluxuri de numerar pentru o rentă datorată, programul fluxurilor de numerar ar apărea astfel:

Deoarece fiecare plată din serie se face cu o perioadă mai devreme, trebuie să reducem formula înapoi la o perioadă. O ușoară modificare a formulei FV-of-an-ordinare-anuitate contabilizează plățile care apar la începutul fiecărei perioade. În Exemplul 3, să ilustrăm de ce este necesară această modificare atunci când fiecare plată de 1.000 USD se efectuează la începutul perioadei și nu la sfârșit (rata dobânzii este încă 5%):

Rețineți că atunci când plățile se efectuează la începutul perioadei, fiecare sumă este reținută mai mult la sfârșitul perioadei. De exemplu, dacă suma de 1.000 de dolari a fost investită la 1 ianuarie și nu la 31 decembrie a fiecărui an, ultima plată înainte de a valorifica investiția noastră la sfârșitul a cinci ani (la 31 decembrie) ar fi fost făcută cu un an înainte (1 ianuarie) și nu în aceeași zi în care este evaluat. Valoarea viitoare a formulei de rentă va citi apoi:

FVAnnuity Due = C × [(1 + i) n − 1i] × (1 + i) FV _ {\ text {Annuity Due}} = C \ times \ left [\ frac {(1 + i) ^ n-1 } {i} \ right] \ times (1 + i) FVAnnuity Due = C × [i (1 + i) n − 1] × (1 + i)

Prin urmare,

FVAnnuity Due = 1000 $ × [(1 + 0, 05) 5–10, 05] × (1 + 0, 05) = $ 1000 × 5, 53 × 1, 05 \ begin {align} FV _ {\ text {Annuity Due}} & = \ $ 1000 \ times \ left \ [\ frac {(1 + 0.05) ^ 5-1} {0.05} \ right] \ times (1 + 0.05) \\ & = \ $ 1000 \ times5.53 \ times1.05 \\ & = \ 5801, 91 $ \ end { aliniat} FVAnnuity Due = 1000 $ × [0.05 (1 + 0.05) 5−1] × (1 + 0.05) = 1000 $ × 5.53 × 1.05

Renta datorată

Calcularea valorii actuale

Pentru valoarea actuală a unei formule datorate anualității, trebuie să actualizăm formula la o perioadă înainte, deoarece plățile sunt menținute pentru o perioadă mai scurtă de timp. Atunci când calculăm valoarea actuală, presupunem că prima plată a fost făcută astăzi.

Am putea folosi această formulă pentru a calcula valoarea actuală a plăților viitoare pentru chirie, așa cum este specificat într-un contract de închiriere pe care îl semnați cu proprietarul. Să presupunem că efectuați prima plată a chirii (a se vedea exemplul 4 de mai jos) la începutul lunii și evaluați valoarea actuală a contractului dvs. de închiriere de cinci luni în aceeași zi. Calculul valorii dvs. actuale va funcționa astfel:

Desigur, putem folosi o scurtătură de formulă pentru a calcula valoarea actuală a unei rente datorate:

PVAnnuity Due = C × [1− (1 + i) ni] × (1 + i) PV _ {\ text {Annuity Due}} = C \ times \ left [\ frac {1- (1 + i) ^ {-n}} {i} \ right] \ times (1 + i) PVAnnuity Due = C × [i1− (1 + i) nn] × (1 + i)

Prin urmare,

PVAnnuity Due = 1000 $ × [(1− (1 + 0, 05) −50, 05] × (1 + 0, 05) = 1000 × 4, 33 × 1, 05 \ begin {aliniat} PV _ {\ text {Annuity Due}} & = \ $ 1000 \ times \ left [\ frac {(1- (1 + 0.05) ^ {- 5}} {0.05} \ right] \ times (1 + 0.05) \\ & = \ $ 1000 \ times4.33 \ times1.05 \\ & = \ 4545, 95 $ \ end {aliniat} PVAnnuity Due = 1000 $ × [0, 05 (1− (1 + 0, 05) −5] × (1 + 0, 05) = 1000 × 4, 33 × 1, 05

Reamintim că valoarea actuală a unei rente obișnuite a returnat o valoare de 4.329, 48 USD. Valoarea actuală a unei rente obișnuite este mai mică decât cea a unei rente datorate, deoarece cu cât redăm înapoi o plată viitoare, cu atât este mai mică valoarea actuală - fiecare plată sau flux de numerar dintr-o rentă obișnuită are loc cu o perioadă mai lungă în viitor.

Valoarea timpului a banilor

Calculul valorii viitoare se bazează pe conceptul valorii în timp a banilor. Acest lucru înseamnă pur și simplu că un dolar câștigat astăzi valorează mai mult decât un dolar câștigat mâine, deoarece fondurile pe care le controlați acum pot fi investite și câștigați dobândă în timp. Prin urmare, valoarea viitoare a unei rente este mai mare decât suma tuturor investițiilor dvs., deoarece aceste contribuții au câștigat dobândă în timp. De exemplu, valoarea viitoare de 1.000 de dolari investită astăzi la dobândă de 10% este de 1.100 de dolari la un an de acum. Un singur dolar astăzi valorează 1, 10 USD într-un an din cauza valorii în timp a banilor.

Presupunem că efectuați plăți anuale de 5.000 USD către renta obișnuită timp de 15 ani. Câștigă dobânzi de 9%, încasate anual.

FV = 5.000 $ × {(((1 + 0.09) 15) −1) ÷ 0.09} = 5.000 $ × {((1.0915) −1) ÷ 0.09} = 5.000 × 2.642 $: 0.09 \ begin {aliniat} FV & = \ 5.000 $ \ times \ {(((1 + 0.09) ^ {15}) - 1) \ div 0.09 \} \\ & = \ 5.000 $ \ times \ {((1.09 ^ {15}) - 1) \ div 0.09 \ } \\ & = \ 5.000 $ \ ori 2.642 \ div 0.09 \\ & = \ $ 5.000 \ ori \ 146.804, 58 $ \ end {aliniat} FV = 5.000 $ × {((1 + 0.09) 15) −1) ÷ 0.09} = 5.000 $ x {((1.0915) -1) ÷ 0, 09} = 5.000 $ x 2.642 ÷ 0, 09

Fără puterea dobândirii de dobânzi, seria dvs. de contribuții de 5.000 de dolari valorează doar 75.000 de dolari la sfârșitul celor 15 ani. În schimb, cu dobândă compusă, valoarea viitoare a renta dvs. este de aproape două ori mai mare decât cea de 146.804, 58 USD.

Pentru a calcula valoarea viitoare a unei rente datorate, pur și simplu înmulțiți valoarea viitoare obișnuită cu 1+ i (rata dobânzii). În exemplul de mai sus, valoarea viitoare a unei rente datorate cu aceiași parametri este pur și simplu 146.804, 58 $ x (1 + 0, 09) sau 160.016, 99 USD.

Considerații privind valoarea prezentă

Atunci când calculăm valoarea actuală a unei rente, este important ca toate variabilele să fie consecvente. Dacă anuitatea generează plăți anuale, de exemplu, rata dobânzii trebuie, de asemenea, exprimată ca o rată anuală. Dacă anuitatea generează plăți lunare, de exemplu, rata dobânzii trebuie, de asemenea, exprimată ca o rată lunară.

Presupunem că o rentă are o dobândă de 10% care generează plăți anuale de 3.000 USD pentru următorii 15 ani. Valoarea actuală a acestei rente este:

= $ 3, 000 × (((1- (1 + 0, 1) -15)) ÷ 0, 1) = $ 3, 000 × ((1-0.239392) ÷ 0, 1) = $ 3, 000 × (0.760608 ÷ 0, 1) = $ 3, 000 × 7.60608 \ begin {aliniate } & = \ 3.000 $ \ times (((1 - (1 + 0.1) ^ {- 15})) \ div 0.1) \\ & = \ 3.000 $ \ times ((1 - .239392) \ div 0.1) \\ & = \ 3.000 $ \ times (0.760608 \ div 0.1) \\ & = \ $ 3.000 \ times 7.60608 \\ & = \ 22.818 $ \ end {aliniat} = 3.000 $ × (((1− (1 + 0.1) 15)) ÷ 0.1) = $ 3, 000 × ((1-0.239392) ÷ 0, 1) = $ 3, 000 × (0.760608 ÷ 0, 1) = 3.000 $ x 7.60608

Valoarea actuală a unei anuități

Linia de jos

Acum puteți vedea cum afectează anualitățile modul în care calculați valoarea actuală și viitoare a oricărei sume de bani. Nu uitați că frecvențele de plată sau numărul de plăți și ora la care se efectuează aceste plăți (indiferent dacă sunt la începutul sau la sfârșitul fiecărei perioade de plată) sunt toate variabilele de care trebuie să țineți cont în calculele dvs.

Când planificați pensia, este important să aveți o idee bună despre cât de mult vă puteți baza pe fiecare an. Deși poate fi relativ ușor să urmăriți cât de mult puneți în planurile de pensionare sponsorizate de angajatori, conturile individuale de pensionare (IRA) și anuitățile, nu este întotdeauna atât de ușor să știți cât veți obține. Din fericire, atunci când vine vorba de anuități cu rată fixă ​​sau planuri investite în valori mobiliare cu rată fixă, există o modalitate simplă de a calcula câți bani puteți aștepta să aveți la dispoziție după pensionare, pe baza cât de mult ați băgat în cont în anii de lucru .