Cum se utilizează simularea Monte Carlo cu GBM

Una dintre cele mai frecvente metode de estimare a riscului este utilizarea unei simulări de Monte Carlo (MCS). De exemplu, pentru a calcula valoarea la risc (VaR) a unui portofoliu, putem executa o simulare Monte Carlo care încearcă să prezică cea mai gravă pierdere posibilă pentru un portofoliu, având un interval de încredere pe un orizont de timp specificat (trebuie întotdeauna să specificăm două condiții pentru VaR: încredere și orizont).

În acest articol, vom trece în revistă un MCS de bază aplicat unui preț al acțiunilor, folosind unul dintre cele mai comune modele din finanțe: mișcarea Brownian geometrică (GBM). Prin urmare, în timp ce simularea Monte Carlo se poate referi la un univers al diferitelor abordări ale simulării, vom începe aici cu cele mai de bază.

Unde să încep

O simulare Monte Carlo este o încercare de a prezice viitorul de mai multe ori. La sfârșitul simulării, mii sau milioane de „încercări aleatorii” produc o distribuție a rezultatelor care pot fi analizate. Etapele de bază sunt următoarele:

1. Specificați un model (de ex. GBM)

Pentru acest articol, vom folosi Geometric Brownian Motion (GBM), care este tehnic un proces Markov. Aceasta înseamnă că prețul acțiunilor urmează o mers aleatorie și este în concordanță cu (cel puțin) forma slabă a ipotezei eficiente a pieței (EMH) - informațiile despre prețuri anterioare sunt deja încorporate, iar următoarea mișcare a prețurilor este „condiționată independentă” de modificări ale prețurilor din trecut.

Formula GBM se găsește mai jos:

Unde:

• S = Prețul stocului
• Δ S = Modificarea prețului acțiunilor
• μ = randamentul scontat
• σ = Abaterea standard a randamentelor
• ϵ = Variabila aleatoare
• Δ t = Perioada de timp scursă

Dacă rearanjăm formula de rezolvare doar pentru modificarea prețului acțiunilor, vedem că GBM spune că modificarea prețului acțiunii este prețul acțiunii „S” înmulțit cu cei doi termeni găsiți în paranteza de mai jos:

Primul termen este „derivă”, iar al doilea termen „șoc”. Pentru fiecare perioadă de timp, modelul nostru presupune că prețul va „scădea” în creșterea așteptării. Dar driftul va fi șocat (adăugat sau scăzut) de un șoc aleatoriu. Șocul aleatoriu va fi abaterea standard „s” înmulțită cu un număr aleatoriu „e”. Acesta este pur și simplu un mod de a reduce abaterea standard.

Aceasta este esența GBM, așa cum este ilustrat în figura 1. Prețul acțiunilor urmează o serie de pași, în care fiecare pas este o derivă plus sau minus un șoc aleatoriu (în sine este o funcție a abaterii standard a stocului):

figura 1

2. Generați încercări aleatorii

Înarmați cu o specificație a modelului, vom continua apoi să efectuăm încercări aleatorii. Pentru a ilustra, am folosit Microsoft Excel pentru a rula 40 de încercări. Rețineți că acesta este un eșantion nerealist de mic; cele mai multe simulări sau „sims” rulează cel puțin câteva mii de încercări.

În acest caz, să presupunem că stocul începe în ziua zero cu un preț de 10 USD. Iată un grafic al rezultatului în care fiecare etapă (sau interval) este de o zi și seria se desfășoară timp de zece zile (în rezumat: patruzeci de încercări cu pași zilnici peste zece zile):

Figura 2: Mișcarea browniană geometrică

Rezultatul este de patruzeci de prețuri de acțiuni simulate la sfârșitul a 10 zile. Nimeni nu s-a întâmplat să scadă sub 9 dolari, iar unul este peste 11 $.

3. Procesați rezultatul

Simularea a produs o distribuție a rezultatelor viitoare ipotetice. Am putea face mai multe lucruri cu rezultatul.

Dacă, de exemplu, dorim să estimăm VaR cu 95% încredere, atunci trebuie doar să localizăm rezultatul clasat în treizeci și opt (cel de-al treilea rezultat cel mai rău). Acest lucru se datorează faptului că 2/40 este egal cu 5%, deci cele două cele mai grave rezultate sunt în cele mai mici 5%.

Dacă stivuim rezultatele ilustrate în coșuri (fiecare coș este de o treime din $ 1, deci trei coșuri acoperă intervalul de la 9 la 10 USD), vom obține următoarea histogramă:

Figura 3

Nu uitați că modelul nostru GBM își asumă normalitatea; Returnările prețurilor sunt distribuite în mod normal cu rentabilitatea preconizată (medie) "m" și abaterea standard "s". Interesant este că histograma noastră nu arată normal. De fapt, cu mai multe încercări, acesta nu va tinde spre normalitate. În schimb, va tinde spre o distribuție lognormală: o picătură accentuată spre stânga mediei și o „coadă lungă” extrem de înclinată spre dreapta mediei.

Acest lucru duce adesea la o dinamică potențial confuză pentru studenții pentru prima dată:

• Returnările prețurilor sunt distribuite în mod normal.
• Nivelurile prețurilor sunt distribuite în mod normal.

Gândiți-vă astfel: O acțiune poate returna în sus sau în jos cu 5% sau 10%, dar după o anumită perioadă de timp, prețul acțiunilor nu poate fi negativ. Mai mult, creșterile de preț în creștere au un efect de compunere, în timp ce scăderea prețurilor pe dezavantaj reduce baza: pierdeți 10% și rămâneți cu mai puțin de pierdut data viitoare.

Iată un grafic al distribuției lognormale suprapuse ipotezelor noastre ilustrate (de exemplu, prețul inițial de 10 USD):

Figura 4

Linia de jos

O simulare Monte Carlo aplică un model selectat (care specifică comportamentul unui instrument) unui set mare de încercări aleatorii în încercarea de a produce un set plauzibil de posibile rezultate viitoare. În ceea ce privește simularea prețurilor acțiunilor, cel mai obișnuit model este mișcarea browniană geometrică (GBM). GBM presupune că o derivă constantă este însoțită de șocuri aleatorii. În timp ce rentabilitatea perioadei în condiții GBM sunt distribuite în mod normal, nivelurile de prețuri pe mai multe perioade (de exemplu, zece zile) sunt distribuite în mod lognormal.