Teorema definiției lui Bayes
Teorema lui Bayes, numită după matematicianul britanic din secolul 18 Thomas Bayes, este o formulă matematică pentru determinarea probabilității condiționale. Teorema oferă o modalitate de a revizui predicțiile sau teoriile existente (probabilități de actualizare), date cu dovezi noi sau suplimentare. În finanțe, teorema lui Bayes poate fi utilizată pentru a evalua riscul de a împrumuta bani potențialilor debitori.
Teorema lui Bayes se mai numește și regula lui Bayes sau Legea lui Bayes și este fundamentul domeniului statisticilor bayesiene.
Cheie de luat cu cheie
- Teorema lui Bayes vă permite să actualizați probabilitățile anticipate ale unui eveniment prin încorporarea de informații noi.
- Teorema lui Bayes a fost numită după matematicianul din secolul 18 Thomas Bayes.
- Este adesea angajat în finanțe pentru actualizarea evaluării riscurilor.
Formula pentru teorema lui Bayes este
P (A∣B) = P (A⋂B) P (B) = P (A) ⋅P (B∣A) P (B) unde: P (A) = Probabilitatea ca A să apară P (B) = Probabilitatea de a se produce B (A∣B) = Probabilitatea de a da BP (B∣A) = Probabilitatea de a da AP (A⋂B)) = Probabilitatea ca A și B să apară \ begin {aliniate} & P \ stânga (A | B \ dreapta) = \ frac {P \ left (A \ bigcap {B} \ dreapta)} {P \ left (B \ dreapta)} = \ frac {P \ left (A \ dreapta) \ cdotP \ left (B} {P \ left (B \ right)} \\ & \ textbf {where:} \\ & P \ left (A \ right) = \ text {Probabilitatea ca A să apară} \\ & P \ left (B \ right) = \ text {Probabilitatea ca B să apară} \\ & P \ left (A | B \ right) = \ text {Probabilitatea de a da B} \\ & P \ left (B | A \ right) = \ text {Probabilitatea B dat A} \\ & P \ left (A \ bigcap {B} \ right)) = \ text {Probabilitatea ca A și B să apară} \\ \ end {aliniat} P ( A∣B) = P (B) P (A⋂B) = P (B) P (A) ⋅P (B∣A) unde: P (A) = Probabilitatea ca A să apară P (B) = probabilitatea de a se produce B (A∣B) = Probabilitatea de a da BP (B∣A) = Probabilitatea de a da AP (A⋂B)) = Probabilitatea de a se produce atât A cât și B
Teorema lui Bayes explicată
Aplicațiile teoremei sunt răspândite și nu se limitează la domeniul financiar. Ca exemplu, teorema lui Bayes poate fi utilizată pentru a determina exactitatea rezultatelor testelor medicale, luând în considerare cât de probabil este o persoană care are o boală și exactitatea generală a testului. Teorema lui Bayes se bazează pe încorporarea distribuțiilor anterioare de probabilitate pentru a genera probabilități posterioare. Probabilitatea anterioară, în inferența statistică bayesiană, este probabilitatea unui eveniment înainte de colectarea de noi date. Aceasta este cea mai bună evaluare rațională a probabilității unui rezultat bazat pe cunoștințele actuale înainte de efectuarea unui experiment. Probabilitatea posterioară este probabilitatea revizuită a unui eveniment care are loc după luarea în considerare a informațiilor noi. Probabilitatea posterioară se calculează prin actualizarea probabilității anterioare prin utilizarea teoremei lui Bayes. În termeni statistici, probabilitatea posterioară este probabilitatea de a se produce evenimentul A având în vedere faptul că evenimentul B a avut loc.
Teorema lui Bayes oferă astfel probabilitatea unui eveniment bazat pe informații noi care sunt sau pot fi legate de acel eveniment. Formula poate fi folosită și pentru a vedea cum probabilitatea unui eveniment să fie afectată de informațiile noi ipotetice, presupunând că noile informații se vor dovedi adevărate. De exemplu, să spunem că o singură carte este extrasă dintr-un pachet complet de 52 de cărți. Probabilitatea ca cardul să fie rege este de 4 împărțit la 52, ceea ce este egal cu 1/13 sau aproximativ 7, 69%. Amintiți-vă că există 4 regi pe punte. Acum, să presupunem că este dezvăluit că cardul selectat este un card de față. Probabilitatea ca cardul selectat să fie un rege, având în vedere că este un card de față, este 4 împărțit la 12, sau aproximativ 33, 3%, deoarece există 12 cărți de față într-un pachet.
Derivând formula de teoremă a lui Bayes cu un exemplu
Teorema lui Bayes decurge pur și simplu din axiomele probabilității condiționale. Probabilitatea condițională este probabilitatea unui eveniment dat fiind faptul că a avut loc un alt eveniment. De exemplu, o întrebare de probabilitate simplă poate pune: „Care este probabilitatea scăderii prețului acțiunii Amazon.com, Inc., (NYSE: AMZN)?" Probabilitatea condiționată face această întrebare cu un pas mai departe întrebând: „Care este probabilitatea ca prețul acțiunilor AMZN să scadă, având în vedere că indicele Dow Jones Industrial Media (DJIA) a scăzut mai devreme?
Probabilitatea condiționată de A având în vedere că B s-a întâmplat poate fi exprimată astfel:
Dacă A este: „prețul AMZN scade” atunci P (AMZN) este probabilitatea ca AMZN să cadă; iar B este: „DJIA este deja în jos”, iar P (DJIA) este probabilitatea ca DJIA să cadă; atunci expresia de probabilitate condițională este redată ca „probabilitatea ca AMZN să scadă, dat fiind un declin DJIA este egală cu probabilitatea ca prețul AMZN să scadă și DJIA să scadă peste probabilitatea unei scăderi a indicelui DJIA.
P (AMZN | DJIA) = P (AMZN și DJIA) / P (DJIA)
P (AMZN și DJIA) este probabilitatea să apară atât A cât și B. Aceasta este, de asemenea, aceeași cu probabilitatea de apariție A înmulțită cu probabilitatea ca B să apară având în vedere că apar A, exprimată ca P (AMZN) x P (DJIA | AMZN). Faptul că aceste două expresii sunt egale conduce la teorema lui Bayes, care este scrisă ca:
dacă, P (AMZN și DJIA) = P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) = P (DJIA) x P (AMZN | DJIA)
apoi, P (AMZN | DJIA) = [P (AMZN) x P (DJIA | AMZN)] / P (DJIA).
În cazul în care P (AMZN) și P (DJIA) sunt probabilitatea ca Amazon și Dow Jones să cadă, fără a se ține cont unul de celălalt.
Formula explică relația dintre probabilitatea ipotezei înainte de a vedea dovezile conform cărora P (AMZN) și probabilitatea ipotezei după obținerea dovezilor P (AMZN | DJIA), date cu o ipoteză pentru dovezi date Amazon în Dow.
Exemplu numeric al teoremei lui Bayes
Ca un exemplu numeric, imaginați-vă că există un test de droguri care este 98% exact, adică 98% din timp arată un rezultat pozitiv adevărat pentru cineva care consumă drogul și 98% din timp arată un adevărat rezultat negativ pentru nonuzanții medicament. În continuare, presupunem că 0, 5% dintre oameni consumă drogul. Dacă o persoană selectată la teste aleatorii este pozitivă pentru medicament, se poate face următorul calcul pentru a vedea dacă probabilitatea că persoana este de fapt un utilizator al medicamentului.
(0, 98 x 0, 005) / [(0, 98 x 0, 005) + ((1 - 0, 98) x (1 - 0, 005))] = 0, 0049 / (0, 0049 + 0, 0199) = 19, 76%
Teorema lui Bayes arată că, chiar dacă o persoană s-a testat pozitiv în acest scenariu, este de fapt mult mai probabil că persoana nu este un utilizator al medicamentului.
Compararea conturilor de investiții Denumirea furnizorului Descrierea divulgatorului de publicitate × Ofertele care apar în acest tabel provin din parteneriate de la care Investopedia primește compensații.