Optimizează-ți portofoliul folosind distribuția normală

Distribuția normală este distribuția probabilității care prezintă toate valorile sale într-o manieră simetrică, cu majoritatea rezultatelor situate în jurul valorii mediei probabilității.

Distribuție normală (Bell Curve)

Seturile de date (precum înălțimea a 100 de oameni, notele obținute de 45 de elevi dintr-o clasă etc.) tind să aibă multe valori în același punct de date sau în același interval. Această distribuție a punctelor de date se numește distribuție normală sau curbă clopot.

De exemplu, într-un grup de 100 de indivizi, 10 pot fi sub 5 metri înălțime, 65 pot sta între 5 și 5, 5 picioare și 25 pot fi peste 5, 5 picioare. Această distribuție legată de interval poate fi reprezentată după cum urmează:

În mod similar, punctele de date reprezentate în grafice pentru un set de date dat se pot asemăna cu diferite tipuri de distribuții. Trei dintre cele mai comune sunt distribuții aliniate la stânga, aliniate la dreapta și în jumătate:

Notă linia de tendință roșie în fiecare dintre aceste grafice. Acest lucru indică aproximativ tendința de distribuție a datelor. Primul, „Distribuție distribuită stânga”, indică faptul că majoritatea punctelor de date se încadrează în intervalul inferior. În cel de-al doilea grafic „Distribuție dreaptă aliniată”, majoritatea punctelor de date se încadrează în capătul superior al intervalului, în timp ce ultimul, „Distribuție simplă”, reprezintă un set de date mixte fără o tendință clară.

Există o mulțime de cazuri în care distribuția punctelor de date tinde să fie în jurul valorii centrale și acel grafic arată o distribuție normală perfectă - la fel de echilibrată pe ambele părți, cu cel mai mare număr de puncte de date concentrate în centru.

Iată un set de date perfect distribuit în mod normal:

Valoarea centrală de aici este 50 (care are cel mai mare număr de puncte de date), iar distribuția se reduce uniform către valori finale extreme de 0 și 100 (care au cel mai puțin număr de puncte de date). Distribuția normală este simetrică în jurul valorii centrale cu jumătate din valorile de pe fiecare parte.

Multe exemple din viața reală se potrivesc distribuției curbei clopotului:

• Aruncați o monedă corectă de mai multe ori (să zicem de 100 de ori sau mai mult) și veți obține o distribuție echilibrată normală a capetelor și cozilor.
• Rotiți o pereche de zaruri corecte de mai multe ori (să zicem de 100 de ori sau mai mult), iar rezultatul va fi o distribuție echilibrată, normală, centrată în jurul numărului 7 și conjugând uniform spre valori extreme 2 și 12.
• Înălțimea indivizilor dintr-un grup de dimensiuni considerabile și notele obținute de oamenii dintr-o clasă urmează modele normale de distribuție.
• În finanțe, modificări ale valorilor de jurnal a ratelor valutare, a indicilor de preț și a prețurilor acțiunilor se presupune a fi distribuite în mod normal.

Risc și randamente

Orice investiție are două aspecte: risc și rentabilitate. Investitorii caută cel mai mic risc posibil pentru cel mai mare randament posibil. Distribuția normală cuantifică aceste două aspecte prin media rentabilităților și abaterea standard pentru risc. (Pentru mai multe, consultați „Analiza variației medii”).

Valoarea medie sau așteptată

O modificare medie specială a prețului unei acțiuni ar putea fi de 1, 5% zilnic - ceea ce înseamnă că, în medie, crește cu 1, 5%. Această valoare medie sau rentabilitate semnificativă semnificativă poate fi obținută prin calcularea mediei pe un set de date suficient de mare care conține modificări istorice zilnice de preț ale acțiunii respective. Cu cât media este mai mare, cu atât mai bine.

Deviație standard

Abaterea standard indică cantitatea cu care valorile deviază în medie de media. Cu cât abaterea standard este mai mare, cu atât investiția este mai riscantă, deoarece duce la mai multă incertitudine.

Iată o reprezentare grafică a aceluiași:

Prin urmare, reprezentarea grafică a distribuției normale prin media și abaterea standard permite reprezentarea atât a rentabilităților, cât și a riscului într-un interval clar definit.

Ne ajută să știm (și să fim asigurați cu certitudine) că, dacă un set de date urmează modelul normal de distribuție, media acestuia ne va permite să știm la ce se întoarce, iar abaterea standard ne va permite să știm că în jur de 68% din valori va fi în limita a 1 abatere standard, 95% în 2 abateri standard și 99% din valori se vor încadra în 3 abateri standard. Un set de date care are o medie de 1, 5 și o abatere standard de 1 este mult mai riscant decât un alt set de date cu o medie de 1, 5 și o abatere standard de 0, 1.

Cunoașterea acestor valori pentru fiecare activ selectat (adică acțiuni, obligațiuni și fonduri) va face un investitor la curent cu randamentele și riscurile preconizate.

Este ușor să aplici acest concept și să reprezinți riscul și rentabilitatea unui singur stoc, obligațiune sau fond. Dar acest lucru poate fi extins la un portofoliu cu mai multe active ">

Persoanele fizice încep să tranzacționeze achiziționând un singur stoc sau obligațiune sau investind într-un fond mutual. Treptat, ei tind să își crească participațiile și să cumpere mai multe stocuri, fonduri sau alte active, creând astfel un portofoliu. În acest scenariu incremental, indivizii își construiesc portofoliile fără o strategie sau prea mult timp preconizate. Managerii de fonduri profesioniști, comercianții și producătorii de piață urmează o metodă sistematică pentru a-și construi portofoliul folosind o abordare matematică numită teoria portofoliului modern (MPT), care se bazează pe conceptul de „distribuție normală”.

Teoria portofoliului modern

Teoria portofoliului modern (MPT) oferă o abordare matematică sistematică, care are ca scop maximizarea rentabilității preconizate a unui portofoliu pentru o anumită cantitate de riscuri de portofoliu, selectând proporțiile diferitelor active. În mod alternativ, oferă, de asemenea, reducerea la minimum a riscului pentru un anumit nivel de rentabilitate preconizat.

Pentru a atinge acest obiectiv, activele care vor fi incluse în portofoliu nu ar trebui să fie selectate numai pe baza propriului lor merit individual, ci în funcție de modul în care fiecare activ va avea loc în raport cu celelalte active din portofoliu.

Pe scurt, MPT definește cum să obțină cel mai bine diversificarea portofoliului pentru cele mai bune rezultate posibile: rentabilitate maximă pentru un nivel acceptabil de risc sau risc minim pentru un nivel de rentabilitate dorit.

Blocurile de construcție

MPT a fost un concept atât de revoluționar când a fost introdus încât inventatorii săi au câștigat un premiu nobil. Această teorie a furnizat cu succes o formulă matematică pentru a ghida diversificarea investițiilor.

Diversificarea este o tehnică de gestionare a riscurilor, care înlătură riscul „toate ouăle dintr-un coș” investind în stocuri, sectoare sau clase de active nerelaționate. În mod ideal, performanța pozitivă a unui activ din portofoliu va anula performanța negativă a altor active.

Pentru a obține rentabilitatea medie a portofoliului care are n diferite active, se calculează combinația ponderată proporțională cu randamentele activelor constitutive.

Datorită naturii calculelor statistice și distribuției normale, randamentul total al portofoliului (R _p ) este calculat ca:

Rp = ΣwiRiR_p = \ sum {w_iR_i} Rp = Σwi Ri

Suma (∑), unde w _i este ponderea proporțională a activului i din portofoliu, R _i este rentabilitatea (media) activului i.

Riscul de portofoliu (sau abaterea standard) este o funcție a corelațiilor activelor incluse, pentru toate perechile de active (unele față de celelalte din pereche).

Datorită naturii calculelor statistice și distribuției normale, riscul general de portofoliu (Std-dev) _p este calculat ca:

(Std − dev) p = sqrt [∑i∑jwiwj (std − dev) i (std − dev) j (cor − cofij)] \ begin {aliniat} și \ left (Std-dev \ right) _p = \ \ & sqrt \ left [\ sum_i \ sum_j {w_i} {w_j} \ left (std-dev \ right) _i \ left (std-dev \ right) _j \ left (cor-cof_ {ij} \ right) \ right] \\ \ end {align} (Std − dev) p = sqrt [i∑ j∑ wi wj (std − dev) i (std − dev) j (cor − cofij)]

Aici, cor-cof este coeficientul de corelație între randamentul activelor i și j, iar sqrt este rădăcina pătrată.

Aceasta are grijă de performanța relativă a fiecărui activ față de celălalt.

Deși acest aspect pare matematic complex, conceptul simplu aplicat aici include nu doar abaterile standard ale activelor individuale, ci și cele conexe unul față de celălalt.

Un exemplu bun este disponibil aici de la Universitatea din Washington.

Un exemplu rapid de MPT

Ca experiment de gândire, să ne imaginăm că suntem un manager de portofoliu căruia i s-a acordat capital și căruia îi este încredințat cât de mult ar trebui să fie alocat capital pentru două active disponibile (A&B), astfel încât randamentul scontat să fie maximizat și riscul să fie redus.

De asemenea, avem următoarele valori disponibile:

R _a = 0, 175

R _b = 0, 055

(Std-dev) _a = 0, 258

(Std-dev) _b = 0, 115

(Std-dev) _ab = -0.004875

(Cor-cof) _ab = -0, 164

Începând cu o alocare egală cu 50-50 la fiecare activ A & B, R _p calculează la 0, 115 și (Std-dev) _p ajunge la 0, 1323. O comparație simplă ne spune că pentru acest portofoliu de 2 active, rentabilitatea, precum și riscul sunt la jumătatea distanței între valorile individuale ale fiecărui activ.

Cu toate acestea, obiectivul nostru este de a îmbunătăți randamentul portofoliului peste media fiecărui activ individual și de a reduce riscul, astfel încât să fie mai mic decât cel al activelor individuale.

Să luăm acum o poziție de alocare a capitalului de 1, 5 în activul A și o poziție de alocare de capital de -0, 5 în activul B. (Alocarea de capital negativ înseamnă scurtarea acelui stoc și capital primit este utilizat pentru a cumpăra surplusul celuilalt activ cu alocare de capital pozitiv. În cu alte cuvinte, scurtăm stocul B de 0, 5 ori capital și folosim acești bani pentru a cumpăra acțiuni A pentru o sumă de 1, 5 ori din capital.)

Folosind aceste valori, obținem R _p ca 0.1604 și (Std-dev) _p ca 0.4005.

În mod similar, putem continua să utilizăm diferite greutăți de alocare pentru activul A & B și să ajungem la diferite seturi de Rp și (Std-dev) p. În conformitate cu randamentul dorit (Rp), se poate alege cel mai acceptabil nivel de risc (std-dev) p. În mod alternativ, pentru nivelul de risc dorit, se poate selecta cel mai bun randament al portofoliului disponibil. Oricum, prin acest model matematic al teoriei portofoliului, este posibil să îndepliniți obiectivul creării unui portofoliu eficient cu combinația de risc și rentabilitate dorită.

Utilizarea instrumentelor automatizate permite detectarea cu ușurință și fără probleme a celor mai bune proporții alocate, fără a fi nevoie de calcule manuale îndelungate.

Frontiera eficientă, modelul de prețuri de capital activ (CAPM) și prețul activelor folosind MPT, de asemenea, evoluează de la același model de distribuție normal și sunt o extensie la MPT.

Provocări pentru MPT (și distribuția normală de bază)

Din păcate, niciun model matematic nu este perfect și fiecare are inadecvări și limitări.

Presupunerea de bază că randamentul prețurilor la acțiuni urmează distribuirea normală în sine este pusă la îndoială o dată și din nou. Există o dovadă empirică suficientă a cazurilor în care valorile nu respectă distribuția normală asumată. Bazarea modelelor complexe pe astfel de presupuneri poate duce la rezultate cu abateri mari.

Mergând mai departe în MPT, calculele și ipotezele privind coeficientul de corelație și covarianța rămase fixe (bazate pe date istorice) pot să nu fie neapărat valabile pentru valorile viitoare așteptate. De exemplu, piețele de obligațiuni și acțiuni au arătat o corelație perfectă pe piața britanică din perioada 2001-2004, unde randamentele ambelor active au scăzut simultan. În realitate, reversul a fost observat pe perioade istorice lungi anterioare anului 2001.

Comportamentul investitorilor nu este luat în considerare în acest model matematic. Impozitele și costurile de tranzacție sunt neglijate, chiar dacă se presupune alocarea fracționară a capitalului și posibilitatea scurtării activelor.

În realitate, niciuna dintre aceste ipoteze nu poate fi valabilă, ceea ce înseamnă că profiturile financiare realizate pot diferi semnificativ de profiturile preconizate.

Linia de jos

Modelele matematice oferă un mecanism bun pentru a cuantifica unele variabile cu un număr unic de urmărire. Dar, datorită limitărilor presupunerilor, modelele pot eșua.

Distribuția normală, care stă la baza teoriei portofoliului, nu se poate aplica neapărat la acțiuni și la alte modele de prețuri ale activelor financiare. Teoria portofoliului în sine are o mulțime de presupuneri care ar trebui examinate critic, înainte de a lua decizii financiare importante.