Testarea ipotezei în finanțe: concept și exemple

Consilierul dvs. pentru investiții vă propune un plan lunar de investiții cu venituri care promite o rentabilitate variabilă în fiecare lună. Veți investi în el numai dacă vi se asigură un venit mediu de 180 USD. Consilierul dvs. vă spune, de asemenea, că în ultimele 300 de luni, schema a avut profituri de investiții cu o valoare medie de 190 USD și o abatere standard de 75 USD. Ar trebui să investești în această schemă? Testarea ipotezei vine în ajutor pentru o astfel de luare a deciziilor.

Acest articol presupune familiaritatea cititorilor cu conceptele unui tabel normal de distribuție, formulă, valoare p și elementele de bază ale statisticilor.

Ce este testarea ipotezei?

Ipoteza sau testarea semnificației este un model matematic pentru testarea unei revendicări, idei sau ipoteze despre un parametru de interes într-un set de populație dat, folosind date măsurate într-un set de probe. Calculele sunt efectuate pe eșantioane selectate pentru a aduna informații mai decisive despre caracteristicile întregii populații, ceea ce permite o modalitate sistematică de a testa revendicările sau ideile despre întregul set de date.

Iată un exemplu simplu: un director de școală raportează că elevii din școala ei notează în medie 7 din 10 la examene. Pentru a testa această „ipoteză”, înregistrăm note de 30 de elevi (eșantion) din întreaga populație de elevi a școlii (să spunem 300) și calculăm media acestui eșantion. Putem apoi compara media eșantionului (calculat) cu media populației (raportată) și încercăm să confirmăm ipoteza.

Pentru a da un alt exemplu, randamentul anual al unui anumit fond mutual este de 8%. Presupunem că fondul mutual există de 20 de ani. Luăm un eșantion aleatoriu de rentabilități anuale ale fondului mutual pentru, să spunem, cinci ani (eșantion) și calculăm media acestuia. Apoi, comparăm media probei (calculate) cu media populației (revendicate) pentru a verifica ipoteza.

Criteriile de luare a deciziilor trebuie să se bazeze pe anumiți parametri ai seturilor de date.

Există diferite metodologii pentru testarea ipotezelor, dar sunt implicați aceleași patru etape de bază:

Pasul 1: Definiți Ipoteza

De obicei, valoarea raportată (sau statisticile cererii) este declarată ca ipoteză și se presupune a fi adevărată. Pentru exemplele de mai sus, ipoteza va fi:

• Exemplul A: Elevii din școală notează în medie 7 din 10 la examene.
• Exemplul B: randamentul anual al fondului mutual este de 8% pe an.

Această descriere menționată constituie „ Ipoteza nulă (H ₀ ) ” și se presupune a fi adevărată - modul în care un inculpat într-un proces al juriului este presupus nevinovat până când este dovedit vinovat de probele prezentate în instanță. În mod similar, testarea ipotezelor începe prin a preciza și a presupune o „ipoteză nulă”, iar apoi procesul stabilește dacă presupunerea este probabil să fie adevărată sau falsă.

Important de menționat este că testăm ipoteza nulă, deoarece există un element de îndoială cu privire la validitatea acesteia. Orice informație care este împotriva ipotezei nule declarate este capturată în ipoteza alternativă (H ₁ ). Pentru exemplele de mai sus, ipoteza alternativă va fi:

• Elevii obțin o medie care nu este egală cu 7.
• Returnarea anuală a fondului mutual nu este egală cu 8% pe an.

Cu alte cuvinte, ipoteza alternativă este o contradicție directă a ipotezei nule.

Ca într-un proces, juriul își asumă nevinovăția inculpatului (ipoteză nulă). Procurorul trebuie să demonstreze altfel (ipoteză alternativă). În mod similar, cercetătorul trebuie să demonstreze că ipoteza nulă este fie adevărată, fie falsă. Dacă procurorul nu reușește să demonstreze ipoteza alternativă, juriul trebuie să-l lase pe inculpat să plece (bazându-se pe decizia pe ipoteza nulă). În mod similar, dacă cercetătorul nu reușește să dovedească o ipoteză alternativă (sau pur și simplu nu face nimic), atunci ipoteza nulă se presupune a fi adevărată.

Pasul 2: Setați criteriile

Criteriile de luare a deciziilor trebuie să se bazeze pe anumiți parametri ai seturilor de date și de aici apare conexiunea la distribuția normală.

Conform statisticilor standard postulate despre distribuția de eșantionare, „Pentru orice mărime a eșantionului n, distribuția de eșantionare de X̅ este normală dacă populația X din care este extras eșantionul este distribuită în mod normal.” Prin urmare, probabilitățile tuturor celorlalte probe posibile înseamnă că se pot selecta sunt distribuite în mod normal.

De exemplu, determinați dacă rentabilitatea medie zilnică a oricărei acțiuni listate pe piața de valori XYZ, în jurul Zilei de Anul Nou este mai mare de 2%.

H ₀ : Ipoteză nulă: medie = 2%

H ₁ : Ipoteză alternativă: medie> 2% (asta este ceea ce vrem să dovedim)

Luați eșantionul (să zicem 50 de stocuri din 500) și calculați media eșantionului.

Pentru o distribuție normală, 95% din valori se încadrează în două abateri standard ale mediei populației. Prin urmare, această distribuție normală și presupunerea limită centrală pentru setul de date probă ne permite să stabilim 5% ca nivel de semnificație. Este logic că, conform acestei presupuneri, există mai puțin de 5% probabilitate (100-95) de a obține valori superioare care depășesc două abateri standard de la media populației. În funcție de natura seturilor de date, alte niveluri de semnificație pot fi luate la 1%, 5% sau 10%. Pentru calculele financiare (inclusiv finanțele comportamentale), 5% este limita general acceptată. Dacă găsim calcule care depășesc cele două abateri standard obișnuite, atunci avem un caz puternic de valori care resping ipoteza nulă.

Grafic, este reprezentat după cum urmează:

În exemplul de mai sus, dacă media eșantionului este mult mai mare decât 2% (spun 3, 5%), atunci respingem ipoteza nulă. Ipoteza alternativă (medie> 2%) este acceptată, ceea ce confirmă că randamentul zilnic mediu al stocurilor este într-adevăr peste 2%.

Cu toate acestea, dacă media eșantionului nu este probabil să fie semnificativ mai mare de 2% (și rămâne la, să spunem, în jur de 2, 2%), atunci NU putem respinge ipoteza nulă. Provocarea vine cu privire la modul de a decide cu privire la cazuri atât de apropiate. Pentru a trage o concluzie din eșantioanele și rezultatele selectate, trebuie determinat un nivel de semnificație care să permită concluzia cu privire la ipoteza nulă. Ipoteza alternativă permite stabilirea nivelului de semnificație sau a conceptului de „valoare critică” pentru a decide cu privire la astfel de cazuri apropiate.

Conform definiției standard a manualului, „O valoare critică este o valoare cutanată care definește limitele dincolo de care se poate obține mai puțin de 5% din mijloacele de eșantion dacă ipoteza nulă este adevărată. Mijloace de eșantion obținute peste o valoare critică vor avea ca rezultat o decizie de respingere a ipotezei nule. "În exemplul de mai sus, dacă am definit valoarea critică ca 2, 1%, iar media calculată ajunge la 2, 2%, atunci respingem ipoteza nulă. .O valoare critică stabilește o delimitare clară cu privire la acceptare sau respingere.

Pasul 3: Calculați statisticile

Această etapă implică calcularea cifrei / cifrelor necesare, cunoscute sub numele de statistici de testare (cum ar fi media, scorul z, valoarea p etc.) pentru eșantionul selectat. (Vom ajunge la acestea într-o secțiune ulterioară.)

Pasul 4: ajunge la o concluzie

Cu valoarea (valorile) calculate, decideți ipoteza nulă. Dacă probabilitatea obținerii unei probe medii este mai mică de 5%, concluzia este de a respinge ipoteza nulă. În caz contrar, acceptați și păstrați ipoteza nulă.

Tipuri de erori

Pot fi patru rezultate posibile în luarea de decizii bazate pe eșantion, în ceea ce privește aplicabilitatea corectă la întreaga populație:

Cazurile „corecte” sunt cele în care deciziile luate pe eșantioane sunt cu adevărat aplicabile întregii populații. Cazurile de erori apar atunci când se decide să păstreze (sau să respingă) ipoteza nulă bazată pe calculele eșantionului, dar această decizie nu se aplică cu adevărat întregii populații. Aceste cazuri constituie erori de tip 1 (alfa) și de tip 2 (beta), așa cum este indicat în tabelul de mai sus.

Selectarea valorii critice corecte permite eliminarea erorilor alfa de tip 1 sau limitarea acestora la un interval acceptabil.

Alpha denotă eroarea la nivel de semnificație și este determinată de cercetător. Pentru a menține semnificația standard de 5% sau nivelul de încredere pentru calculele de probabilitate, aceasta se păstrează la 5%.

În conformitate cu reperele și definițiile aplicabile pentru luarea deciziilor:

• „Acest criteriu (alfa) este de obicei stabilit la 0, 05 (a = 0, 05) și comparăm nivelul alfa cu valoarea p. Atunci când probabilitatea unei erori de tip I este mai mică de 5% (p <0.05), decidem să respingem ipoteza nulă; altfel, păstrăm ipoteza nulă. ”
• Termenul tehnic utilizat pentru această probabilitate este valoarea p . Este definit ca „probabilitatea obținerii unui rezultat de probă, având în vedere că valoarea declarată în ipoteza nulă este adevărată. Valoarea p pentru obținerea unui rezultat de probă este comparată cu nivelul de semnificație. "
• O eroare de tip II, sau eroare beta, este definită ca „probabilitatea păstrării incorecte a ipotezei nule, atunci când, de fapt, aceasta nu se aplică întregii populații.”

Alte câteva exemple vor demonstra acest lucru și alte calcule.

Exemplul 1

Există o schemă de investiții lunare de venit care promite randamente lunare variabile. Un investitor va investi în el numai dacă i se asigură un venit mediu lunar de 180 $. El are un eșantion de returnări de 300 de luni, care are o medie de 190 $ și o abatere standard de 75 $. Ar trebui să investească în această schemă ">

Să stabilim problema. Investitorul va investi în schemă dacă este asigurat de rentabilitatea medie dorită de 180 $.

H ₀ : Ipoteză nulă: medie = 180

H ₁ : Ipoteză alternativă: medie> 180

Metoda 1: Abordarea valorii critice

Identificați o valoare critică X _L pentru media eșantionului, care este suficient de mare pentru a respinge ipoteza nulă - adică respingeți ipoteza nulă dacă media probei> = valoarea critică X _L

P (identificați o eroare alfa de tip I) = P (respinge H ₀ având în vedere că H ₀ este adevărat),

Acest lucru ar fi obținut atunci când media eșantionului depășește limitele critice.

= P (având în vedere că H ₀ este adevărat) = alfa

Grafic, apare astfel:

Luând alfa = 0, 05 (adică 5% nivel de semnificație), Z _{0, 05} = 1, 645 (din tabelul Z sau tabelul de distribuție normal)

=> X _L = 180 + 1.645 * (75 / mp (300)) = 187.12

Deoarece media eșantionului (190) este mai mare decât valoarea critică (187.12), ipoteza nulă este respinsă, iar concluzia este că rentabilitatea medie lunară este într-adevăr mai mare de 180 $, astfel încât investitorul poate lua în considerare investiția în această schemă.

Metoda 2: Utilizarea statisticilor de testare standardizate

Se poate utiliza, de asemenea, valoarea standardizată z.

Testul statistic, Z = (media probei - media populației) / (std-dev / sqrt (nr. De probe).

Apoi, regiunea de respingere devine următoarea:

Z = (190 - 180) / (75 / mp (300)) = 2.309

Regiunea noastră de respingere la nivel de semnificație de 5% este Z> Z _0.05 = 1.645.

Deoarece Z = 2.309 este mai mare decât 1.645, ipoteza nulă poate fi respinsă cu o concluzie similară menționată mai sus.

Metoda 3: Calculul valorii P

Ne propunem să identificăm P (medie probă> = 190, când media = 180).

= P (Z> = (190-180) / (75 / mp (300))

= P (Z> = 2.309) = 0.0084 = 0.84%

Următorul tabel pentru deducerea calculelor valorii p concluzionează că există dovezi confirmate ale rentabilităților medii lunare mai mari de 180:

Exemplul 2

Un nou agent de acțiuni (XYZ) susține că taxele sale de brokeraj sunt mai mici decât cele ale brokerului curent de acțiuni (ABC). Datele disponibile de la o firmă de cercetare independentă indică faptul că media și std-dev-ul tuturor clienților brokerilor ABC sunt de 18 $, respectiv 6 $.

Se prelevează un eșantion de 100 de clienți ABC și se calculează tarifele de intermediere cu noile rate ale brokerului XYZ. Dacă media eșantionului este de 18, 75 USD și std-dev este aceeași (6 USD), se poate face vreo inferență cu privire la diferența de factură medie de intermediere între ABC și XYZ broker ">

H ₀ : Ipoteză nulă: medie = 18

H ₁ : Ipoteză alternativă: medie 18 (asta vrem să dovedim.)

Regiunea de respingere: Z <= - Z _2.5 și Z> = Z _2.5 (presupunând un nivel de semnificație de 5%, împărțiți 2, 5 fiecare pe ambele părți).

Z = (medie probă - medie) / (std-dev / sqrt (nr. Probe))

= (18, 75 - 18) / (6 / (sqrt (100)) = 1, 25

Această valoare Z calculată se încadrează între cele două limite definite de:

- Z _{2, 5} = -1, 96 și Z _{2, 5} = 1, 96.

Aceasta concluzionează că nu există dovezi suficiente pentru a deduce că există vreo diferență între ratele brokerului dvs. existent și noul broker.

Alternativ, valoarea p = P (Z1.25)

= 2 * 0, 1056 = 0, 2112 = 21, 12%, care este mai mare de 0, 05 sau 5%, ceea ce duce la aceeași concluzie.

Grafic, este reprezentat de următoarele:

Puncte de critică pentru metoda testării ipotetice:

• O metodă statistică bazată pe presupuneri
• Predispus la erori, așa cum este detaliat în termeni de erori alfa și beta
• Interpretarea valorii p poate fi ambiguă, conducând la rezultate confuze

Linia de jos

Testarea ipotezei permite unui model matematic să valideze o cerere sau o idee cu un anumit nivel de încredere. Cu toate acestea, la fel ca majoritatea instrumentelor și modelelor statistice, este legat de câteva limitări. Utilizarea acestui model pentru luarea deciziilor financiare ar trebui să fie luată în considerare cu ochi critici, ținând cont de toate dependențele. Pentru analize similare merită, de asemenea, să explorați metode alternative precum Bayesian Inference.