Explorarea mediei mobile ponderare exponențială

Volatilitatea este cea mai frecventă măsură a riscului, dar are mai multe arome. Într-un articol anterior, am arătat cum să calculăm volatilitatea istorică simplă. În acest articol, vom îmbunătăți volatilitatea simplă și vom discuta despre media mobilă ponderată exponențial (EWMA).

Volatilitate istorică vs. implicită

În primul rând, să punem această măsură într-un pic de perspectivă. Există două abordări largi: volatilitatea istorică și implicită (sau implicită). Abordarea istorică presupune că trecutul este prolog; măsurăm istoria în speranța că aceasta este predictivă. Volatilitatea implicită, pe de altă parte, ignoră istoria; rezolvă volatilitatea implicată de prețurile pieței. Se speră că piața știe cel mai bine și că prețul pieței conține, chiar dacă implicit, o estimare consensuală a volatilității.

Dacă ne concentrăm doar pe cele trei abordări istorice (din stânga de mai sus), acestea au doi pași în comun:

1. Calculați seria de randamente periodice
2. Aplicați o schemă de ponderare

În primul rând, calculăm randamentul periodic. Aceasta este, de obicei, o serie de randamente zilnice în care fiecare returnare este exprimată în termeni în mod continuu compuși. Pentru fiecare zi, luăm jurnalul natural al raportului dintre prețurile acțiunilor (adică, prețul de azi divizat la prețul de ieri și așa mai departe).

ui = lnsisi − 1unde: ui = returnare în ziua isi = prețul acțiunii în ziua isi − 1 = prețul stocului în ziua precedentă i \ begin {aliniat} & u_i = ln \ frac {s_i} {s_ {i - 1}} \\ & \ textbf {unde:} \\ & u_i = \ text {return on day} i \\ & s_i = \ text {prețul acțiunilor în ziua} i \\ & s_ {i - 1} = \ text {prețul acțiunilor din zi înainte de zi} i \\ \ end {aliniat} ui = lnsi − 1 si unde: ui = returnare în ziua isi = prețul acțiunilor în ziua isi − 1 = prețul acțiunilor înaintea zilei i

Aceasta produce o serie de randamente zilnice, de la u _i la u _im, în funcție de câte zile (m = zile) măsurăm.

Asta ne duce la al doilea pas: aici diferă cele trei abordări. În articolul precedent, am arătat că sub câteva simplificări acceptabile, variația simplă este media randamentelor pătrate:

variance = σn2 = 1mΣi = 1mun − 12 unde: m = numărul de zile măsuratn = dayiu = diferența de revenire față de rentabilitatea medie \ begin {align} & \ text {variance} = \ sigma ^ 2_n = \ frac {1} { m} \ Sigma ^ m_ {i = 1} u ^ 2_ {n - 1} \\ & \ textbf {unde:} \\ & m = \ text {numărul de zile măsurate} \\ & n = \ text {day} i \\ & u = \ text {diferență de întoarcere față de rentabilitatea medie} \\ \ end {aliniat} varianță = σn2 = m1 Σi = 1m un − 12 unde: m = numărul de zile măsurate = dayiu = diferență de revenire din randamentul mediu

Observați că acest lucru însumează fiecare din rezultatele periodice, apoi divizează acel total la numărul de zile sau observații (m). Deci, este într-adevăr doar o medie a randamentelor periodice pătrate. Altfel spus, fiecărui randament pătrat i se dă o greutate egală. Deci, dacă alfa (a) este un factor de ponderare (mai exact, a = 1 / m), atunci o varianță simplă arată așa:

EWMA se îmbunătățește în varianta simplă
Punctul slab al acestei abordări este acela că toate randamentele câștigă aceeași pondere. Întoarcerea de ieri (foarte recentă) nu are mai multă influență asupra variației decât revenirea de luna trecută. Această problemă este rezolvată folosind media mobilă ponderată exponențial (EWMA), în care randamentele mai recente au o pondere mai mare pe variație.

Media mobile ponderată exponențial (EWMA) introduce lambda, care se numește parametrul de netezire. Lambda trebuie să fie mai mică decât una. În această condiție, în loc de greutăți egale, fiecare randament pătrat este ponderat cu un multiplicator după cum urmează:

De exemplu, RiskMetrics ^TM _, o companie de gestionare a riscurilor financiare, tinde să folosească un lambda de 0, 94 sau 94%. În acest caz, primul (cel mai recent) randament periodic pătrat este ponderat cu (1-0.94) (. 94) ⁰ = 6%. Următorul randament pătrat este pur și simplu un lambda-multiplu din greutatea anterioară; în acest caz 6% înmulțit cu 94% = 5, 64%. Iar greutatea din a treia zi anterioară este egală cu (1-0.94) (0.94) ² = 5.30%.

Acesta este sensul de „exponențial” în EWMA: fiecare greutate este un multiplicator constant (adică lambda, care trebuie să fie mai mic decât una) din greutatea zilei anterioare. Aceasta asigură o variație ponderată sau părtinitoare față de datele mai recente. Diferența dintre simpla volatilitate și EWMA pentru Google este prezentată mai jos.

Volatilitatea simplă cântărește în mod efectiv fiecare randament periodic cu 0, 196%, așa cum se arată în coloana O (am avut doi ani de date zilnice despre prețul acțiunilor. Adică 509 rentabilități zilnice și 1/509 = 0, 196%). Dar observați că coloana P atribuie o greutate de 6%, apoi 5, 64%, apoi 5, 3% și așa mai departe. Aceasta este singura diferență între o varianță simplă și EWMA.

Amintiți-vă: după ce însumăm întreaga serie (în coloana Q) avem variația, care este pătratul abaterii standard. Dacă dorim volatilitate, trebuie să ne amintim să luăm rădăcina pătrată a acelei variații.

Care este diferența de volatilitate zilnică între variație și EWMA în cazul Google ">

Varianța de astăzi este o funcție a variației zilei anterioare

Veți observa că trebuie să calculăm o serie lungă de greutăți în scădere exponențială. Nu vom face matematica aici, dar una dintre cele mai bune caracteristici ale EWMA este că întreaga serie se reduce în mod convenabil la o formulă recursivă:

σn2 (ewma) = λσn2 + (1 − λ) un − 12 unde: λ = gradul de ponderare diminuareσ2 = valoarea la perioada de timp nu2 = valoarea EWMA la perioada de timp n \ begin {alinată} & \ sigma ^ 2_n (ewma) = \ lambda \ sigma ^ 2_ {n} + (1 - \ lambda) u ^ 2_ {n - 1} \\ & \ textbf {unde:} \\ & \ lambda = \ text {gradul de ponderare scade} \ \ & \ sigma ^ 2 = \ text {valoare la perioada de timp} n \\ & u ^ 2 = \ text {valoarea EWMA la perioada de timp} n \\ \ end {aliniat} σn2 (ewma) = λσn2 + (1 − λ) un − 12 unde: λ = gradul de ponderare scădereσ2 = valoarea la perioada de timp nu2 = valoarea EWMA la perioada de timp n

Recursiv înseamnă că referințele de varianță de astăzi (adică sunt o funcție a variației zilei anterioare). Puteți găsi această formulă și în foaia de calcul și produce același rezultat ca și calculul de mână lungă! Se spune: variația de astăzi (sub EWMA) este egală cu variația de ieri (ponderată de lambda) plus revenirea pătrată de ieri (cântărită cu un minus lambda). Observați cum adăugăm doar doi termeni împreună: variația ponderată de ieri și randamentul pătrat de ieri.

Chiar și așa, lambda este parametrul nostru de netezire. O lambda mai mare (de exemplu, cum ar fi riscul RiskMetric de 94%) indică o degradare mai lentă a seriei - în termeni relativi, vom avea mai multe puncte de date din serie și vor „cădea” mai lent. Pe de altă parte, dacă reducem lambda, indicăm o degradare mai mare: greutățile cad mai repede și, ca rezultat direct al degradării rapide, se folosesc mai puține puncte de date. (În foaia de calcul, lambda este o intrare, pentru a putea experimenta sensibilitatea sa).

rezumat
Volatilitatea este abaterea standard instantanee a unui stoc și cea mai frecventă valoare a riscului. Este, de asemenea, rădăcina pătrată a variației. Putem măsura variația istoric sau implicit (volatilitatea implicită). Atunci când se măsoară istoric, cea mai ușoară metodă este varianta simplă. Dar slăbiciunea cu o varianță simplă este că toate randamentele obțin aceeași greutate. Deci, ne confruntăm cu un compromis clasic: dorim întotdeauna mai multe date, dar cu cât avem mai multe date, cu atât calculul nostru este diluat prin date îndepărtate (mai puțin relevante). Media mobile ponderată exponențial (EWMA) se îmbunătățește pe o varianță simplă, alocând greutăți la randamentele periodice. Făcând acest lucru, putem folosi atât o dimensiune mare a eșantionului, dar, de asemenea, o pondere mai mare la randamente mai recente.