Utilizarea metodelor comune de distribuție a probabilității stocurilor

Aproape indiferent de părerea dvs. despre previzibilitatea sau eficiența piețelor, veți fi de acord cu faptul că pentru majoritatea activelor, randamentele garantate sunt incerte sau riscante. Dacă ignorăm matematica care stă la baza distribuțiilor de probabilitate, putem vedea că sunt imagini care descriu o perspectivă particulară a incertitudinii. Distribuția probabilităților este un calcul statistic care descrie șansa ca o anumită variabilă să cadă între sau într-un interval specific într-un grafic de grafic.

Incertitudinea se referă la aleatorie. Este diferit de lipsa de previzibilitate sau de ineficiența pieței. O perspectivă de cercetare emergentă afirmă că piețele financiare sunt atât incerte cât și previzibile. De asemenea, piețele pot fi eficiente, dar și incerte.

În finanțe, folosim distribuții de probabilitate pentru a realiza imagini care ilustrează viziunea noastră asupra sensibilității rentabilității unui activ atunci când credem că randamentul activului poate fi considerat o variabilă aleatoare. În acest articol, vom parcurge câteva dintre cele mai populare distribuții de probabilitate și vă vom arăta cum să le calculați.

Distribuțiile pot fi clasificate drept discrete sau continue, și dacă este vorba despre o funcție de densitate de probabilitate (PDF) sau o distribuție cumulativă.

Distribuții discrete vs. continuu

Discret se referă la o variabilă aleatorie extrasă dintr-un set finit de rezultate posibile. O matriță cu șase fețe, de exemplu, are șase rezultate discrete. O distribuție continuă se referă la o variabilă aleatorie extrasă dintr-un set infinit. Exemple de variabile aleatorii continue includ viteza, distanța și unele randamente ale activelor. O variabilă aleatorie discretă este ilustrată de obicei cu puncte sau liniuțe, în timp ce o variabilă continuă este ilustrată cu o linie solidă. Figura 1 prezintă distribuții discrete și continue pentru o distribuție normală cu o valoare medie (valoare preconizată) de 50 și o abatere standard de 10:

figura 1

Distribuția este o încercare de a grafică incertitudinea. În acest caz, un rezultat de 50 este cel mai probabil, dar se va întâmpla doar aproximativ 4% din timp; un rezultat de 40 este o abatere standard sub medie și va apărea sub 2, 5% din timp.

Densitatea probabilității față de distribuția cumulată

Cealaltă distincție este între funcția de densitate de probabilitate (PDF) și funcția de distribuție cumulată. PDF este probabilitatea ca variabila noastră aleatorie să atingă o valoare specifică (sau în cazul unei variabile continue, de a se încadra între un interval). Arătăm că, indicând probabilitatea ca o variabilă aleatoare X să fie egală cu o valoare reală x:

P [x = X] \ begin {aliniat} și P [x = X] \\ \ end {aliniat} P [x = X]

Distribuția cumulată este probabilitatea ca variabila aleatoare X să fie mai mică sau egală cu valoarea reală x:

P [x <= X] \ begin {aliniat} și P [x <= X] \\ \ end {aliniat} P [x <= X]

sau de exemplu, dacă înălțimea dvs. este o variabilă aleatorie cu o valoare așteptată de 5'10 "inci (înălțimea medie a părinților dvs.), atunci întrebarea PDF este" Care este probabilitatea să atingeți o înălțime de 5'4 "" >

Figura 1 a prezentat două distribuții normale. Acum puteți vedea că acestea sunt parcele cu funcție de densitate de probabilitate (PDF). Dacă redimensionăm exact aceeași distribuție ca o distribuție cumulată, vom obține următoarele:

Figura 2

Distribuția cumulată trebuie să ajungă până la 1, 0 sau 100% pe axa y. Dacă ridicăm bara suficient de ridicată, atunci la un moment dat, practic toate rezultatele se vor încadra sub acea bară (am putea spune că distribuția este de obicei asimptotică la 1, 0).

Finanțele, o știință socială, nu sunt la fel de curate ca științele fizice. Gravitatea, de exemplu, are o formulă elegantă de care putem depinde, din când în când. Pe de altă parte, rentabilitățile activelor financiare nu pot fi replicate atât de consistent. De-a lungul anilor, o sumă uimitoare de bani a fost pierdută de oamenii deștepți, care au confundat distribuțiile exacte (adică, ca și cum ar fi derivate din științele fizice) cu aproximațiile dezordonate, nesigure, care încearcă să prezinte profiturile financiare. În finanțe, distribuțiile de probabilitate sunt puțin mai mult decât reprezentările picturale brute.

Distributie uniforma

Cea mai simplă și mai populară distribuție este distribuția uniformă, în care toate rezultatele au șanse egale de apariție. O matriță cu șase fețe are o distribuție uniformă. Fiecare rezultat are o probabilitate de aproximativ 16, 67% (1/6). Graficul nostru de mai jos arată linia solidă (așa că o puteți vedea mai bine), dar rețineți că aceasta este o distribuție discretă - nu puteți rula 2.5 sau 2.11:

Figura 3

Acum, rostogoliți două zaruri împreună, așa cum se arată în figura 4, iar distribuția nu mai este uniformă. Crește maximul la șapte, ceea ce se întâmplă să aibă șanse de 16, 67%. În acest caz, toate celelalte rezultate sunt mai puțin probabile:

Figura 4

Acum, rostogolim trei zaruri împreună, așa cum se arată în figura 5. Începem să vedem efectele unei teoreme cel mai uimitoare: teorema limită centrală. Teorema limită centrală promite cu îndrăzneală că suma sau media unei serii de variabile independente vor tinde să fie distribuite în mod normal, indiferent de propria distribuție . Zarurile noastre sunt uniforme, dar le combinăm și, pe măsură ce adăugăm mai multe zaruri, aproape magic suma lor va tinde spre distribuția normală familiară.

Figura 5

Distribuție binomială

Distribuția binomială reflectă o serie de încercări „fie / sau”, cum ar fi o serie de aruncări de monede. Acestea se numesc procese Bernoulli - care se referă la evenimente care au doar două rezultate - dar nu aveți nevoie de cote (50/50). Distribuția binomială de mai jos prezintă o serie de 10 aruncări de monede în care probabilitatea capetelor este de 50% (p-0, 5). În figura 6 puteți vedea că șansa de a flipi exact cinci capete și cinci cozi (comanda nu contează) este doar timidă de 25%:

Figura 6

Dacă distribuția binomală pare normală, sunteți corect. Pe măsură ce numărul de încercări crește, binomul tinde spre distribuția normală.

Distribuția Lognormală

Distribuția lognormală este foarte importantă în finanțe, deoarece multe dintre cele mai populare modele presupun că prețurile acțiunilor sunt distribuite în mod lognormal. Este ușor de confundat randamentul activelor cu nivelul prețurilor.

Randamentul activelor este adesea tratat ca normal - un stoc poate urca cu 10% sau cu 10%. Nivelurile prețurilor sunt adesea tratate ca lognormale - un stoc de 10 USD poate ajunge până la 30 USD, dar nu poate coborî la - 10 USD. Distribuția lognormă este non-zero și este inclinată spre dreapta (din nou, un stoc nu poate scădea sub zero, dar nu are o limită de teoretic în sus):

Figura 7

poisson

Distribuția Poisson este utilizată pentru a descrie șansele unui anumit eveniment (de exemplu, o pierdere zilnică a portofoliului sub 5%) care se produce pe un interval de timp. Deci, în exemplul de mai jos, presupunem că un anumit proces operațional are o rată de eroare de 3%. Ne asumăm în continuare 100 de încercări aleatorii; distribuția Poisson descrie probabilitatea de a obține un anumit număr de erori într-o anumită perioadă de timp, cum ar fi o singură zi.

Figura 8

T-ul studentului

Distribuția T a elevului este foarte populară, deoarece are o coadă ușor „mai grasă” decât distribuția normală. T-ul studentului este folosit de obicei atunci când mărimea eșantionului nostru este mică (adică mai puțin de 30). În finanțe, coada stângă reprezintă pierderile. Prin urmare, dacă dimensiunea eșantionului este mică, îndrăznim să subestimăm șansele unei pierderi mari. Coada mai grasă de pe studenta T ne va ajuta aici. Chiar și așa, se întâmplă că coada de grăsime a acestei distribuții nu este adesea suficient de grasă. Întoarcerea financiară tinde să prezinte, cu rare ocazii catastrofale, pierderi cu adevărat de coadă de grăsime (adică mai groase decât cele prevăzute de distribuții). Sume mari de bani s-au pierdut în acest sens.

Figura 9

Distribuție beta

În cele din urmă, distribuția beta (care nu trebuie confundată cu parametrul beta din modelul de preț al activelor de capital) este populară cu modelele care estimează ratele de recuperare ale portofoliilor de obligațiuni. Distribuția beta este utilitarul distribuțiilor. Ca și normalul, are nevoie de doar doi parametri (alfa și beta), dar pot fi combinați pentru o flexibilitate remarcabilă. Patru distribuții beta posibile sunt ilustrate în figura 10 de mai jos:

Figura 10

Linia de jos

Ca atâția pantofi din dulapul nostru cu încălțăminte statistică, încercăm să alegem cea mai potrivită ocazie, dar nu știm cu adevărat ce ne ține vremea. Este posibil să alegem o distribuție normală, apoi să aflăm că subestimează pierderile din coada stângă; astfel încât să trecem la o distribuție înclinată, doar pentru a găsi datele arată mai „normal” în următoarea perioadă. Matematica elegantă de dedesubt vă poate seduce în gândirea că aceste distribuții dezvăluie un adevăr mai profund, dar este mai probabil ca acestea să fie doar artefacte umane. De exemplu, toate distribuțiile pe care le-am analizat sunt destul de fluide, dar unele rentabilități ale activului cresc în mod discontinuu.

Distribuția normală este omniprezentă și elegantă și necesită doar doi parametri (medie și distribuție). Multe alte distribuții converg spre normal (de exemplu, binomial și Poisson). Cu toate acestea, multe situații, cum ar fi rentabilitatea fondurilor speculative, portofoliile de credit și evenimente de pierdere severă, nu merită distribuțiile normale.