Înțelegerea modelului de preț al opțiunilor binomiale

A conveni asupra prețurilor exacte pentru orice activ comercializabil este dificil - de aceea prețurile acțiunilor se schimbă constant. În realitate, companiile își schimbă cu greu evaluările în fiecare zi, dar prețurile acțiunilor și evaluările lor se schimbă aproape în fiecare secundă. Această dificultate de a ajunge la un consens cu privire la stabilirea prețurilor corecte pentru orice activ comercializabil duce la oportunități de arbitraj de scurtă durată.

Însă o mulțime de investiții de succes se reduce la o simplă întrebare de evaluare actuală - care este prețul curent corect astăzi pentru o rambursare viitoare?

Opțiunea binominală Evaluare

Pe o piață concurențială, pentru a evita oportunitățile de arbitraj, activele cu structuri de plată identice trebuie să aibă același preț. Evaluarea opțiunilor a fost o sarcină dificilă, iar variațiile de prețuri duc la oportunități de arbitraj. Black-Scholes rămâne unul dintre cele mai populare modele utilizate pentru opțiunile de preț, dar are limitări.

Modelul de preț al opțiunilor binomiale este o altă metodă populară utilizată pentru opțiunile de stabilire a prețurilor.

Exemple

Presupunem că există o opțiune de apel pe un anumit stoc cu un preț curent de piață de 100 USD. Opțiunea AT-the-the-Money (ATM) are un preț de grevă de 100 USD cu termenul de expirare a unui an. Există doi comercianți, Peter și Paula, care ambii sunt de acord că prețul acțiunilor va crește fie la 110 dolari, fie va scădea la 90 dolari într-un an.

Aceștia sunt de acord cu nivelurile prețurilor preconizate într-un interval de timp dat de un an, dar nu sunt de acord cu probabilitatea mișcării în sus sau în jos. Peter crede că probabilitatea ca prețul acțiunii să ajungă la 110 $ este de 60%, în timp ce Paula crede că este de 40%.

Pe baza acestui lucru, cine ar fi dispus să plătească mai mult preț pentru opțiunea de apel? Posibil Peter, deoarece se așteaptă o mare probabilitate de mișcare în sus.

Calculele binominale ale opțiunilor

Cele două active, de care depinde evaluarea, sunt opțiunea de apel și stocul de bază. Există un acord între participanți conform căruia prețul stocului de bază poate trece de la 100 USD la 110 $ sau 90 $ într-un an și nu există alte mutări de prețuri posibile.

Într-o lume fără arbitraj, dacă trebuie să creați un portofoliu format din aceste două active, opțiunea de apel și stocul subiacent, astfel încât indiferent de unde merge prețul de bază - 110 USD sau 90 USD - randamentul net al portofoliului rămâne întotdeauna același . Să presupunem că cumpărați acțiuni „d” de opțiuni subiacente și scurte pentru a crea acest portofoliu.

Dacă prețul se ridică la 110 $, acțiunile dvs. vor fi în valoare de 110 $ * d și veți pierde 10 USD din rambursarea apelurilor scurte. Valoarea netă a portofoliului dvs. va fi (110d - 10).

Dacă prețul scade la 90 USD, acțiunile dvs. vor valora 90 $ * d, iar opțiunea va expira inutil. Valoarea netă a portofoliului dvs. va fi (90d).

Dacă doriți ca valoarea portofoliului dvs. să rămână aceeași indiferent de prețul stocului de bază, atunci valoarea portofoliului dvs. trebuie să rămână aceeași în ambele cazuri:

h (d) −m = l (d) unde: h = Cel mai mare potențial subiacent la preț = Numărul de acțiuni subiacentem = Banii pierduți la apeluri scurte payoffl = Cel mai mic preț de bază potențial \ begin {aliniat} & h (d) - m = l (d) \\ & \ textbf {unde:} \\ & h = \ text {Cel mai mare preț subiacent potențial} \\ & d = \ text {Numărul de acțiuni subiacente} \\ & m = \ text {Banii pierduți la rambursarea apelurilor scurte} \\ & l = \ text {Cel mai scăzut potențial preț subiacent} \\ \ end {aliniat} h (d) −m = l (d) unde: h = Cel mai mare potențial subiacent la preț = Numărul de acțiuni subiacentem = Banii pierduți la apel scurt payoffl = Cel mai mic preț de bază potențial

Deci, dacă cumpărați o jumătate de acțiune, presupunând că sunt posibile achiziții fracționate, veți reuși să creați un portofoliu, astfel încât valoarea acestuia să rămână aceeași în ambele state posibile, în intervalul de timp dat de un an.

110d − 10 = 90dd = 12 \ begin {aliniat} și 110d - 10 = 90d \\ & d = \ frac {1} {2} \\ \ end {aliniat} 110d − 10 = 90dd = 21

Această valoare a portofoliului, indicată prin (90d) sau (110d - 10) = 45, este cu un an în jos. Pentru a calcula valoarea actuală, acesta poate fi actualizat de rata de rentabilitate fără riscuri (presupunând 5%).

Valoare actuală = 90d × e (−5% × 1 an) = 45 × 0.9523 = 42.85 \ begin {aliniat} \ text {Valoare actuală} & = 90d \ times e ^ {(-5 \% \ times 1 \ text {Anul})} \\ & = 45 \ ori 0.9523 \\ & = 42.85 \\ \ end {aliniat} Valoarea actuală = 90d × e (−5% × 1 an) = 45 × 0.9523 = 42.85

Întrucât în ​​prezent, portofoliul este format din ½ acțiune din stocul de bază (cu un preț de piață de 100 USD) și un apel scurt, acesta ar trebui să fie egal cu valoarea actuală.

12 × 100−1 × Preț apel = 42, 85 $ Preț apel = 7, 14 USD, adică prețul apelului de astăzi \ begin {align} & \ frac {1} {2} \ times 100 - 1 \ times \ text {Price Call} = \ 42, 85 $ \\ & \ text {Preț apel} = \ 7, 14 $ \ text {, adică prețul apelului de astăzi} \\ \ end {aliniat} 21 × 100−1 × Preț apel = 42, 85 $ Preț apel = 7, 14 USD, adică prețul apelului de astăzi

Întrucât aceasta se bazează pe presupunerea că valoarea portofoliului rămâne aceeași indiferent de modul în care merge prețul de bază, probabilitatea unei mișcări ascendente sau descendente nu joacă niciun rol. Portofoliul rămâne fără riscuri indiferent de evoluția prețurilor de bază.

În ambele cazuri (se presupune că treceți până la 110 USD și treceți la 90 USD), portofoliul dvs. este neutru față de risc și câștigă rata de rentabilitate fără riscuri.

Prin urmare, ambii comercianți, Peter și Paula, ar fi dispuși să plătească aceeași opțiune de 7, 14 USD pentru această opțiune de apel, în ciuda percepțiilor lor diferite despre probabilitățile de avansare (60% și 40%). Probabilitățile percepute individual nu contează în evaluarea opțiunilor.

Presupunând în schimb că probabilitățile individuale contează, oportunitățile de arbitraj s-ar fi putut prezenta. În lumea reală, astfel de oportunități de arbitraj există cu diferențe minore de preț și dispar pe termen scurt.

Dar unde este volatilitatea mult-hiped în toate aceste calcule, un factor important și sensibil care afectează prețul opțiunilor?

Volatilitatea este deja inclusă în natura definiției problemei. Presupunând două (și doar două - de unde și denumirea de „binom”) a nivelurilor prețurilor (110 $ și 90 $), volatilitatea este implicită în această presupunere și este inclusă automat (10% în orice mod în acest exemplu).

Black-Scholes

Dar această abordare este corectă și coerentă cu prețurile utilizate în mod obișnuit Black-Scholes? Rezultatele calculatorului de opțiuni (amabilitatea OIC) se potrivesc strâns cu valoarea calculată:

Din păcate, lumea reală nu este la fel de simplă ca „doar două state.” Stocul poate atinge mai multe niveluri de preț înainte de expirarea termenului.

Este posibil să includeți toate aceste niveluri multiple într-un model de prețuri binom care este limitat la doar două niveluri ">

Matematică simplă

Pentru a generaliza această problemă și soluție:

„X” este prețul curent de piață al unei acțiuni, iar „X * u” și „X * d” sunt prețurile viitoare pentru mișcările ascendente și descendente „t” ani mai târziu. Factorul „u” va fi mai mare decât unul, deoarece indică o mișcare în sus și „d” se va situa între zero și unul. Pentru exemplul de mai sus, u = 1, 1 și d = 0, 9.

Remunerațiile pentru opțiunea de apel sunt „P _sus ” și „P _dn ” pentru mutări în sus și în jos în momentul expirării.

Dacă construiți un portofoliu de acțiuni „s” achiziționate astăzi și scurt opțiune de apel, atunci „t”:

VUM = s × X × u − Pupwhere: VUM = Valoarea portofoliului în cazul unei mișcări ascendente \ begin {align} & \ text {VUM} = s \ times X \ times u - P_ \ text {up} \\ & \ textbf {unde:} \\ & \ text {VUM} = \ text {Valoarea portofoliului în cazul unei mișcări ascendente} \\ \ end {aliniat} VUM = s × X × u − Pup unde: VUM = Valoarea portofoliului în cazul unei mișcări ascendente

VDM = s × X × d − Pdownwhere: VDM = Valoarea portofoliului în cazul unei deplasări în jos \ begin {align} & \ text {VDM} = s \ times X \ times d - P_ \ text {down} \\ & \ textbf {unde:} \\ & \ text {VDM} = \ text {Valoarea portofoliului în cazul unei deplasări în jos} \\ \ end {aliniat} VDM = s × X × d − Pdown unde: VDM = Valoarea portofoliului în cazul unei deplasări în jos

Pentru o evaluare similară în ambele cazuri de mutare a prețurilor:

s × X × u − Pup = s × X × d − Pdowns \ times X \ times u - P_ \ text {up} = s \ times X \ times d - P_ \ text {down} s × X × u− pup = s × X × d-Pdown

s = Pup − PdownX × (u − d) = Numărul de acțiuni de cumpărat pentru = un portofoliu fără risc \ begin {align} s & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down} } {X \ times (u - d)} \\ & = \ text {Numărul de acțiuni de cumpărat pentru} \\ & \ phantom {=} \ text {un portofoliu fără riscuri} \\ \ end {aliniat} s = X × (u − d) Pup −Pdown = Numărul de acțiuni de achiziționat pentru un portofoliu fără riscuri

Valoarea viitoare a portofoliului la sfârșitul anilor „t” va fi:

În cazul deplasării în sus = s × X × u − Pup = Pup − Pdownu − d × u − Pup \ begin {aliniat} \ text {În cazul mișcării ascendente} & = s \ times X \ times u - P_ \ text {up} \\ & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down}} {u - d} \ times u - P_ \ text {up} \\ \ end {align} În cazul Up Move = s × X × u − Pup = u − dPup −Page × u − Pup

În cazul deplasării în jos = s × X × d − Pdown = Pup − Pdownu − d × d − Pdown \ begin {align} \ text {În cazul mișcării în jos} & = s \ times X \ times d - P_ \ text {down} \\ & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down}} {u - d} \ times d - P_ \ text {down} \\ \ end {align} În cazul Mutare în jos = s × X × d − Pdown = u − dPup −Page × d − Pdown

Valoarea actuală poate fi obținută prin reducerea acesteia cu rata de rentabilitate fără riscuri:

PV = e (−rt) × [Pup − Pdownu − d × u − Pup] unde: PV = prezent-evaluator = Rata de revenire = Timp, în ani \ begin {aliniat} și \ text {PV} = e (-rt) \ times \ left [\ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down}} {u - d} \ times u - P_ \ text {up} \ right] \\ & \ textbf { unde:} \\ & \ text {PV} = \ text {Valoarea zilei actuale} \\ & r = \ text {Rata de rentabilitate} \\ & t = \ text {Timp, în ani} \\ \ end {aliniat} PV = e (−rt) × [u − dPup −Producție × u − Pup] unde: PV = Evaluator de prezent - Rata de revenire = Timp, în ani

Aceasta ar trebui să corespundă deținerii portofoliului de acțiuni „s” la prețul X, iar valoarea apelului scurt „c” (deținerea actuală a (s * X - c) ar trebui să fie egală cu acest calcul.) Rezolvarea pentru „c” în cele din urmă îi dă la fel de:

Notă: Dacă prima de apel este scurtată, ar trebui să fie o adăugare la portofoliu, nu o scădere.

c = e (−rt) u − d × [(e (rt) −d) × Pup + (u − e (−rt)) × Pdown] c = \ frac {e (-rt)} {u - d} \ times [(e (-rt) - d) \ times P_ \ text {up} + (u - e (-rt)) \ times P_ \ text {down}] c = u − de (−rt) × [(e (-rt) -d) × Pup + (u-e (-rt)) × Pdown]

Un alt mod de a scrie ecuația este prin rearanjarea acesteia:

Luând „q” ca:

q = e (−rt) −du − dq = \ frac {e (-rt) - d} {u - d} q = u − de (−rt) d

Atunci ecuația devine:

c = e (−rt) × (q × Pup + (1 − q) × Pdown) c = e (-rt) \ times (q \ times P_ \ text {up} + (1 - q) \ times P_ \ text {jos}) c = e (−rt) × (q × Pup + (1 − q) × Pdown)

Reorganizarea ecuației în termeni de „q” a oferit o perspectivă nouă.

Acum puteți interpreta „q” ca probabilitatea mișcării ascendente a subiacentei (deoarece „q” este asociată cu P _sus și „1-q” este asociată cu P _dn ). În general, ecuația reprezintă prețul de opțiune actual, valoarea actualizată a plății sale la expirare.

Acest „Q” este diferit

În ce fel această probabilitate este „q” diferită de probabilitatea unei mișcări ascendente sau a unei mișcări în jos a celor de bază ">

VSP = q × X × u + (1 − q) × X × dwhere: VSP = Valoarea prețului acțiunilor la momentul t \ begin {aliniat} & \ text {VSP} = q \ times X \ times u + (1 - q) \ times X \ times d \\ & \ textbf {unde:} \\ & \ text {VSP} = \ text {Valoarea prețului acțiunilor la ora} t \\ \ end {aliniat} VSP = q × X × u + (1 − q) × X × dunde: VSP = Valoarea prețului acțiunilor la ora t

Înlocuind valoarea „q” și rearanjând, prețul acțiunii la momentul „t” vine la:

Preț stoc = e (rt) × X \ begin {aliniat} și \ text {Preț stoc} = e (rt) \ ori X \\ \ end {aliniat} Preț stoc = e (rt) × X

În această lume presupusă a două state, prețul acțiunilor crește pur și simplu cu rata de rentabilitate fără riscuri, exact ca un activ fără riscuri și, prin urmare, rămâne independent de orice risc. Investitorii sunt indiferenți în ceea ce privește riscul conform acestui model, deci acesta constituie modelul neutru asupra riscurilor.

Probabilitatea „q” și „(1-q)” sunt cunoscute sub numele de probabilități neutre de risc, iar metoda de evaluare este cunoscută sub numele de model de evaluare neutru pentru riscuri.

Scenariul de exemplu are o cerință importantă - viitoarea structură de plată este necesară cu precizie (nivel de 110 $ și 90 $). În viața reală, nu este posibilă o asemenea claritate cu privire la nivelurile prețurilor bazate pe trepte; mai degrabă prețul se mișcă la întâmplare și se poate stabili la mai multe niveluri.

Pentru a extinde exemplul în continuare, presupunem că nivelurile de preț în două etape sunt posibile. Cunoaștem rambursările finale din al doilea pas și trebuie să valorizăm opțiunea astăzi (la pasul inițial):

Lucrând înapoi, evaluarea intermediară din primul pas (la t = 1) poate fi făcută folosind rambursări finale la pasul doi (t = 2), apoi folosind aceste evaluări din primul pas (t = 1), evaluarea actuală (t = 0) se poate ajunge cu aceste calcule.

Pentru a obține prețuri de opțiuni la numărul doi, se utilizează rambursări la patru și cinci. Pentru a obține prețuri pentru numărul trei, se folosesc rambursări la cinci și șase. În cele din urmă, rambursările calculate la două și trei sunt utilizate pentru a obține prețuri la numărul unu.

Vă rugăm să rețineți că acest exemplu presupune același factor pentru mișcările de urcare (și coborâre) la ambele etape - u și d sunt aplicate în mod compus.

Un exemplu de lucru

Presupunem că o opțiune de vânzare cu un preț de grevă de 110 USD tranzacționează în prezent la 100 USD și expiră într-un an. Rata anuală fără riscuri este de 5%. Se preconizează că prețul va crește cu 20% și va scădea cu 15% la fiecare șase luni.

Aici, u = 1, 2 și d = 0, 85, x = 100, t = 0, 5

folosind formula derivată de mai sus

q = e (−rt) −du − dq = \ frac {e (-rt) - d} {u - d} q = u − de (−rt) d

obținem q = 0, 35802832

valoarea opțiunii put la punctul 2,

p2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 − q) Pupdn) unde: p = Prețul opțiunii put \ begin {align} & p_2 = e (-rt) \ times (p \ times P_ \ text {upup} + (1 - q) P_ \ text {updn}) \\ & \ textbf {unde:} \\ & p = \ text {Prețul opțiunii put} \\ \ end {aliniat} p2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 − q) Pupdn) unde: p = Prețul opțiunii put

În condițiile P _{up up}, _suportul va fi = 100 * 1, 2 * 1, 2 = 144 $ care va duce la _creșterea P = zero

În condițiile P _updn, _suportul va fi = 100 * 1, 2 * 0, 85 = 102 $ care duce la P _updn = 8 $

La _condiția P _dndn, baza va fi = 100 * 0, 85 * 0, 85 = 72, 25 USD care duce la P _dndn = 37, 75 USD

p ₂ = 0.975309912 * (0.35802832 * 0 + (1-0.35802832) * 8) = 5.008970741

În mod similar, p ₃ = 0.975309912 * (0.35802832 * 8 + (1-0.35802832) * 37.75) = 26.42958924

p1 = e (−rt) × (q × p2 + (1 − q) p3) p_1 = e (-rt) \ times (q \ times p_2 + (1 - q) p_3) p1 = e (−rt) × (q × p2 + (1-q) p3)

Și, prin urmare, valoarea opțiunii put, p ₁ = 0.975309912 * (0.35802832 * 5.008970741 + (1-0.35802832) * 26.42958924) = 18, 29 USD.

În mod similar, modelele binomiale vă permit să întrerupeți întreaga durată a opțiunii pentru a îmbunătăți în continuare mai multe etape și niveluri. Folosind programe de calculator sau foi de calcul, puteți lucra înapoi cu un pas la un moment dat pentru a obține valoarea actuală a opțiunii dorite.

Alt exemplu

Să presupunem o opțiune de tip european, cu nouă luni până la expirare, un preț de grevă de 12 dolari și un preț actual de bază de 10 USD. Să presupunem o rată fără 5% riscuri pentru toate perioadele. Presupunem la fiecare trei luni, prețul de bază se poate deplasa cu 20% în sus sau în jos, oferindu-ne u = 1, 2, d = 0, 8, t = 0, 25 și un arbore binomial în trei trepte.

Roșul indică prețurile subiacente, în timp ce albastru indică rambursarea opțiunilor de vânzare.

Probabilitatea neutră de risc „q” calculează până la 0.531446.

Folosind valoarea de mai sus a valorilor "q" și a valorii de plată la t = nouă luni, valorile corespunzătoare la t = șase luni sunt calculate ca:

Mai mult, folosind aceste valori calculate la t = 6, valorile la t = 3, apoi la t = 0 sunt:

Aceasta oferă valoarea actuală a unei opțiuni de vânzare de 2, 18 USD, destul de aproape de ceea ce veți găsi făcând calculele folosind modelul Black-Scholes (2, 30 USD).

Linia de jos

Deși utilizarea programelor de calculator poate ușura aceste calcule intense, prezicerea prețurilor viitoare rămâne o limitare majoră a modelelor binomiale pentru stabilirea prețurilor de opțiuni. Cu cât intervalele de timp sunt mai fine, cu atât este mai dificil să prezicem rambursările la sfârșitul fiecărei perioade cu o precizie la nivel înalt.

Cu toate acestea, flexibilitatea încorporării modificărilor preconizate în perioade diferite este un plus, ceea ce o face potrivită pentru stabilirea prețurilor pentru opțiunile americane, inclusiv pentru evaluarea exercițiilor timpurii.

Valorile calculate folosind modelul binomial se potrivesc îndeaproape cu cele calculate din alte modele utilizate în mod obișnuit, cum ar fi Black-Scholes, ceea ce indică utilitatea și acuratețea modelelor binomiale pentru stabilirea prețurilor de opțiuni. Modelele de prețuri binomale pot fi dezvoltate în funcție de preferințele unui comerciant și pot funcționa ca o alternativă la Black-Scholes.